Commit 2ee7228b authored by Felix Hilsky's avatar Felix Hilsky
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......@@ -9,13 +9,13 @@ Die Kristalle können in eine Richtung ausgerichtet sein, wobei entgegengesetzte
Das *Oseen-Frank-Modell* modelliert die Ausrichtung als Vektoren im $`ℝ^d`$ und identifiziert alle Vektoren einer Geraden. Dieser Raum ist der projektive reelle Raum $`ℝP^d`$.
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Vektorfeld $`v : Ω → ℝP^d`$.
Das Problem, was gelöst werden soll, ist, einen Minimierer der Energie
$$`E_{OF}(v) = ∫_{Ω} W(v, ∇v) dx`$$
$$`E_{\text{OF}}(v) = ∫_{Ω} W(v, ∇v) dx`$$
zu finden.
Das *Landau-de Gennes-Modell* modelliert die Ausrichtung als $`Q`$-Tensoren. Das sind quadratische, spurfreie, symmetrische Tensoren (Matrizen) von der Form
$$`Q = s (n \otimes n - \frac1d \operatorname{ID}) \text{ mit } s ∈ [-\frac12, 1], n ∈ S^2`$$
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω → Skript-Q`$ und das Problem, was gelöst werden soll, ist, einen Minimierer der Energie
$$`E_{LG}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx`$$
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω → 𝒬`$ und das Problem, was gelöst werden soll, ist, einen Minimierer der Energie
$$`E_{\text{LG}}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx`$$
zu finden.
J. Ball hat [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.
......
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