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gitlab has this weird syntax $`ℝ^n`$ to mark math
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# January 2022
- 2022-01-01: email an Hanne zur Themenwahl
- 2022-01-03: Antwort: colocally weakly differentable ist schon bearbeitet, aber wir finden am 2022-01-11 ein analysisnahe Thema
- 2022-01-06: Suche nach guten Erklärungen für Riemannsche Mfk., Zusammenhänge ($Γ$ in q1-q39 war unklar gewesen). Schließlich *q3: Lee Introduction to Riemannian geometry* gefunden
- 2022-01-06: Suche nach guten Erklärungen für Riemannsche Mfk., Zusammenhänge ($`Γ`$ in q1-q39 war unklar gewesen). Schließlich *q3: Lee Introduction to Riemannian geometry* gefunden
......@@ -21,40 +21,40 @@ Es geht um Metriken (d.h. Skalarprodukte auf (Riemannschen) Mfk.) und die zugeh
- S. 375 (385) Koordinaten haben Indices oben (-> Einstein Summenkonvention). Koordinaten sind die Komponenten einer Karte
- "F is given in local coordinates by" erklärt auf Seite 375: Koordinatenrepräsentation mit Karten
- Tangentialvektorräume sind definiert als Derivationen (an p), d.h. $v: C^∞(M) → ℝ$ linear mit Produktregel
$$v(fg) = f(p) vg + g(p) vf$$
- Tangentialvektorräume sind definiert als Derivationen (an p), d.h. $`v: C^∞(M) → ℝ`$ linear mit Produktregel
$$`v(fg) = f(p) vg + g(p) vf`$$
## Submanifolds
Anhang Submanifolds S. 378
- (Inverse Function Theorem for Manifolds) $F:M → N$, $dF_p$ invertierbar $⇒$ $F$ ist lokal um $p$ diffeomorphism (bijektiv, glattes Inverses)
- (Rank Theorem). $F:M → N$ mit $dF_p$ hat für alle $p ∈ M$ den gleichen Rang $r$. Dann gibt es Karten, sodass $\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)$.
Sprich: $F$ lässt $M$ und $N$ in einer Umgebung von $p$ gleich bis möglicherweise eine senkrechte Projektion aussehen.
- $F$ heißt *submersion*, wenn $dF_p$ immer surjektiv ist, sprich $r = \dim N$, sprich
$\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r)$
- $F$ heißt *immersion*, wenn $dF_p$ immer injektiv ist, sprich $r = \dim M$, sprich
$\hat F (x^1, ..., x^r) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)$
- wenn $F$ glatt ist, ist es auch Einbettung (4.26 Lee Smooth Mf)
- lokal ist $F$ eine Einbettung (A.16)
- $F$ heißt *local diffeomorphism*, wenn um jeden Punkt ein Diffeomorphism ist, sprich submersion und immersion
- $F$ heißt *smooth embedding*, wenn es injektiv und immersion und topologische Einbettung ist (stetig, stetiges Inverses, Topologien passen)
- *immersed $n$-dimensional submanifold of $M$*: Teilmenge mit unabhängiger Topologie, bei der inclusion map eine glatte Immersion ist
- (Inverse Function Theorem for Manifolds) $`F:M → N`$, $`dF_p`$ invertierbar $`⇒`$ $`F`$ ist lokal um $`p`$ diffeomorphism (bijektiv, glattes Inverses)
- (Rank Theorem). $`F:M → N`$ mit $`dF_p`$ hat für alle $`p ∈ M`$ den gleichen Rang $`r`$. Dann gibt es Karten, sodass $`\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)`$.
Sprich: $`F`$ lässt $`M`$ und $`N`$ in einer Umgebung von $`p`$ gleich bis möglicherweise eine senkrechte Projektion aussehen.
- $`F`$ heißt *submersion*, wenn $`dF_p`$ immer surjektiv ist, sprich $`r = \dim N`$, sprich
$`\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r)`$
- $`F`$ heißt *immersion*, wenn $`dF_p`$ immer injektiv ist, sprich $`r = \dim M`$, sprich
$`\hat F (x^1, ..., x^r) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)`$
- wenn $`F`$ glatt ist, ist es auch Einbettung (4.26 Lee Smooth Mf)
- lokal ist $`F`$ eine Einbettung (A.16)
- $`F`$ heißt *local diffeomorphism*, wenn um jeden Punkt ein Diffeomorphism ist, sprich submersion und immersion
- $`F`$ heißt *smooth embedding*, wenn es injektiv und immersion und topologische Einbettung ist (stetig, stetiges Inverses, Topologien passen)
- *immersed $`n`$-dimensional submanifold of $`M`$*: Teilmenge mit unabhängiger Topologie, bei der inclusion map eine glatte Immersion ist
- *embedded submanifold*: inclusion map ist embedding, sprich Topologie ist Unterraumtopologie (passen)
- Man kann Koordinaten so wählen, dass die hinteren $0$ sind für das submanifold
- Man kann Koordinaten so wählen, dass die hinteren $`0`$ sind für das submanifold
- *codimension*: Differenz der Dimensionen
- *properly embedded*: inclusion map ist proper (wie stetig, aber mit kompakt statt offen)
- A.21: für embedded submanifolds: proper $$ abgeschlossene Teilmenge
- A.21: für embedded submanifolds: proper $`⇔`$ abgeschlossene Teilmenge
- *regular domain*: properly embedded submanifold mit codimension 0
## Vektorbündel
Räume von Vektorraumsammlungen, ein VR pro Punkt, heißen Vektorbündel
- prominentester Vertreter: $TM = $ tangent bundle of $M$
- prominentester Vertreter: $`TM = `$ tangent bundle of $`M`$
S. 382 hat eine komplizierte Definition dafür, die aussagt: ist das, was wir denken und ist eine Mfk. selbst. A.32 erklärt, wie man die Mfk.-Struktur auf der Vektorbündel baut
- *(local) section of E*: ein Vektor pro Punkt. (local = nur in $U ⊂ M$. *rough (local) section*: nicht unbedingt stetig
- *(local) section of E*: ein Vektor pro Punkt. (local = nur in $`U ⊂ M`$. *rough (local) section*: nicht unbedingt stetig
- *local/global frame for E*: Sammlung von sections, die in jedem Punkt Basis sind
- section ist smooth ⇔ components sind smooth
......
# Chapter 7 "Sobolev spaces on manifolds" in "Handbook of global Analysis"
- Einführung wie man $W^k_p$ für Mfk. definieren kann mit Bezug auf linearen Fall
- in $ℝ^n$ ist Testfkt.-Def. für $W^k_p$ äquivalent zu Abschluss endlich-normierter $C^∞$-Fkt.
- Einführung wie man $`W^k_p`$ für Mfk. definieren kann mit Bezug auf linearen Fall
- in $`ℝ^n`$ ist Testfkt.-Def. für $`W^k_p`$ äquivalent zu Abschluss endlich-normierter $`C^∞`$-Fkt.
......@@ -7,14 +7,14 @@ Hanne Hardering
einfacher zu lesen als Paper, da als Kurs gedacht
- $L^p$ Def. 1.1 wie in tb-q1
- ?? Frage: warum ist L^p-Def auch für Ω mit unbeschränktem Volumen von Q unabhängig? Dann ist doch u konstant genau dann in $L^p$, wenn $u = Q$ ??
- $`L^p`$ Def. 1.1 wie in tb-q1
- ?? Frage: warum ist L^p-Def auch für Ω mit unbeschränktem Volumen von Q unabhängig? Dann ist doch u konstant genau dann in $`L^p`$, wenn $`u = Q`$ ??
- Def. 1.5: "covariant derivative" definiert (und erklärt)
- ?? was ist Γ? Ist das die "[Connection](https://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)#Resolution)", die verschiedene Tangentialräume in Relation setzt ?? -> mit dem Wissen kann man vielleicht auch die Koordinatendarstellung verstehen und zeigen
- $Γ$ ist/sind das [Christoffel symbols], die mit einer Metrik (wir sind auf Riemannscher Mfk!) eindeutig werden zur [Levi-Civita connection](https://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_connection)
- $`Γ`$ ist/sind das [Christoffel symbols], die mit einer Metrik (wir sind auf Riemannscher Mfk!) eindeutig werden zur [Levi-Civita connection](https://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_connection)
- 1.2 Smoothness descriptors - mehr Intuition
- "subhomogenous" = sowas wie tP(x) <= P(tx). (t > 1) Sprich: wenn man skaliert, wird es nicht größer (Quelle: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X13001972)
- ?? $d^βu = du(\frac{∂}{∂x_β})$ ist $u$ abgeleitet in Richtung $x_β$, also gleich $\frac{∂u/∂x_β}$, oder? Unsicher, weil ich dafür keine Notation erwarten würde ??
- Die "covariant derivative along u" $∇_{d^{β^2}u}$ braucht als Argument ein Vektorfeld, also $du$ und nicht eine Funktion wie $∂u/∂x^β$
- aber warum ist das $β$ dann schon in dem $du$ drin??
- ?? $`d^βu = du(\frac{∂}{∂x_β})`$ ist $`u`$ abgeleitet in Richtung $`x_β`$, also gleich $`\frac{∂u/∂x_β}`$, oder? Unsicher, weil ich dafür keine Notation erwarten würde ??
- Die "covariant derivative along u" $`∇_{d^{β^2}u}`$ braucht als Argument ein Vektorfeld, also $`du`$ und nicht eine Funktion wie $`∂u/∂x^β`$
- aber warum ist das $`β`$ dann schon in dem $`du`$ drin??
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