Commit 508eeeb9 authored by Felix Hilsky's avatar Felix Hilsky
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Zeitplanvorschlag

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# Masterarbeitsplan Thema „Liquid Crystals“
# Masterarbeitsplan Thema „Liquid Crystal Models“
## Thema
......@@ -24,7 +24,7 @@ E_{\text{LG}}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx
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minimiert.
J. Ball hat [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω ⊂ ℝ^d`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.
J. Ball & Zarnesco („B&Z“) haben [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω ⊂ ℝ^d`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.
Die Arbeit versucht, diese Erkenntnisse auf den Fall, dass das Urbild $`Ω`$ eine Mannigfaltigkeit ist, zu übertragen.
Dazu gehört, die Objekte von $`ℝ^d`$ auf Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Also liegen die $`v`$s und $`Q`$-Tensoren in Tangentialräumen von $`Ω`$.
......@@ -33,14 +33,14 @@ Dafür werden mehrere Modelle, die andere Arbeitsgruppen entwickelt haben, analy
## Arbeitsschritte
1) *Grundlagen im $`ℝ^d`$*: [„Paper Orientability and Energy Minimization in Liquid Crystal Models“](https://doi.org/10.1007/s00205-011-0421-3) von Ball & Zarnescu verstehen
1) *Grundlagen im $`ℝ^d`$*: [„Paper Orientability and Energy Minimization in Liquid Crystal Models“](https://doi.org/10.1007/s00205-011-0421-3) von B&Z verstehen
- Ergebnis zur Äquivalenz der Modelle verstehen
- Beweis verstehen
- Gegenbeispiele verstehen und verstehen, woran es scheitert (um zu verstehen, warum die Voraussetzungen nötig sind)
2) *Übertragung auf Mannigfaltigkeiten*: $`ℝP^d`$ und $`Q`$-Tensoren auf Oberflächen verstehen und Zusammenhang von tangentialen $`Q`$-Tensoren und tangentialen Vektoren verstehen und erläutern. Quellen können (u.a.) die Paper mit den Energiemodellen sein.
3) *Recherche*: Verschiedene Energiemodelle, beginnend bei [„Nematic liquid crystals on curved surfaces: a thin film limit”](https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2017.0686) verstehen und untersuchen, inwieweit die beiden Modelle aquivalent sind.
Zur Recherche gehört auch, herauszufinden, welche Modelle durch diese Mathematik untersuchbar sind.
4) *Forschung*: Untersuchung und Beweis, welche Ergebnisse analog zu Ball&Zarnescu auf den Mannigfaltigkeitsrahmen übertragbar sind
4) *Forschung*: Untersuchung und Beweis, welche Ergebnisse analog zu B&Z auf den Mannigfaltigkeitsrahmen übertragbar sind
5) *Motivation*: physikalische und technische Hintergründe recherchieren und kurz erläutern
......@@ -62,6 +62,23 @@ Ergebnisse werden möglichst früh verschriftlicht und später für bessere Lesb
Hanne und Prof. Sander geben Rückmeldung zu ausgewählten (Unter)kapiteln, u.a. um zum Schreibstil zu beraten.
## Zeitplan
Sehr grobe Idee, sollte mit der Zeit genauer werden und wird sich verschieben.
| Datum | Ziel |
| --- | --- |
| 12.1. | Thema festlegen |
| 28.2. | B&Z verstanden |
| 15.3. | IWR-Paper verstanden, Recherche für weitere Modelle beginnen |
| 1.5. | Anmeldung |
| 15.5. | Recherche soweit abgeschlossen, dass keine neuen Modelle mehr dazu kommen |
| 30.6. | Inhaltlich fertig sein |
| 3.7. | Physikalische Motivation fertig geschrieben |
| 8.7. | Start Feedback von Kommilitonen etc. |
| 31.7. | Abgabe |
| 10.8 | Fahrradtour |
## Offene Fragen
- Beschränken wir uns auf $`d = 3`$? Macht dasUnterschied, oder machen mehr Dimensionen auch keinen Unterschied?
- Beschränken wir uns auf $`d = 3`$? Macht das einen Unterschied, oder machen mehr Dimensionen auch keinen Mehraufwand?
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