Commit 5b91f364 authored by Felix Hilsky's avatar Felix Hilsky
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mein Verständnis von dem Plan für die Arbeit

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- 2022-01-07: innerhalb von Lee bin ich schnell zu den Grundlagen im Anhang verwiesen worden. Hoffnung gehabt, die innerhalb eines Tages überfliegen zu können. Pustekuchen
- 2022-01-08: Grundlagen im Anhang weiter: Die Koordinatenversion vom Differential detailliert [nachvollzogen](.maindir/tex/scratchpad/chainrule.tex) und Kapitel Vektorbündel
- 2022-01-09: Anhang endlich durchgeschaut, auch wenn nicht alles komplett aufgenommen, aber vieles war mir noch mehr oder weniger bewusst
- 2022-01-10: --
- 2022-01-11: "Riemannian metrics" Kapitel begonnen zu lesen. Abgestorben bei erster Übung
- 2022-01-12: Gespräch mit Hanne über neues Thema Flüssigkristalle. Aufschreiben des Arbeitsauftrags in meinem Verständnis
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## Thema
Die Masterarbeit untersucht die Zusammenhänge verschiedener Modelle für Uniaxiale Flüssigkristalle.
Die Masterarbeit untersucht die Zusammenhänge verschiedener Modelle *uniaxialer Flüssigkristalle*.
Die Modelle gehen davon aus, dass sich Flüssigkristalle so ausrichten, dass eine durch die Ausrichtung bestimmte Energie minimiert wird.
Die Kristalle können in eine Richtung ausgerichtet sein, wobei entgegengesetzte Orientierungen als gleich angesehen werden.
Jedes einzelne Kristall(molekül) ist in eine Richtung ausgerichtet und symmetrisch. Das heißt, dass entgegengesetzte Orientierungen als gleich angesehen werden.
Das *Oseen-Frank-Modell* modelliert die Ausrichtung als Vektoren im $`ℝ^d`$ und identifiziert alle Vektoren einer Geraden. Dieser Raum ist der projektive reelle Raum $`ℝP^d`$.
Das *Oseen-Frank-Modell* modelliert die Ausrichtung eines Moleküls als Einheitsvektor und identifiziert entgegengesetzte Vektoren miteinander. Der Raum aller möglichen Ausrichtungen ist damit der projektive reelle Raum $`ℝP^d`$.
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Vektorfeld $`v : Ω → ℝP^d`$.
Das Problem, was gelöst werden soll, ist, einen Minimierer der Energie
Wir suchen das Vektorfeld, das die Energie
```math
E_{\text{OF}}(v) = ∫_{Ω} W(v, ∇v) dx
```
zu finden.
minimiert. Dieses Vektorfeld heißt Minimierer.
Das *Landau-de Gennes-Modell* modelliert die Ausrichtung als $`Q`$-Tensoren. Das sind quadratische, spurfreie, symmetrische Tensoren (Matrizen) von der Form
Das *Landau - de-Gennes - Modell* modelliert die Ausrichtung als $`Q`$-Tensoren. Das sind quadratische, spurfreie, symmetrische 2-Tensoren (Matrizen) von der Form
```math
Q = s (n \otimes n - \tfrac1d \operatorname{Id}) \text{ mit } s ∈ [-\tfrac12, 1], n ∈ S^2
```
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω → 𝒬`$ und das Problem, was gelöst werden soll, ist, einen Minimierer der Energie
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω → 𝒬`$ und das Wir suchen das $`Q`$-Tensorfeld, das die Energie
```math
E_{\text{LG}}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx
```
zu finden.
minimiert.
J. Ball hat [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.
J. Ball hat [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $ ⊂ ℝ^d`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.
Die Arbeit versucht, diese Erkenntnisse auf den Fall, dass das Urbild $`Ω`$ eine Mannigfaltigkeit ist, zu übertragen.
Dazu gehört, die Objekte von $`ℝ^d`$ auf Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Also liegen die $`v`$s und $`Q`$-Tensoren in Tangentialräumen von $`Ω`$.
Dafür werden mehrere Modelle, die andere Arbeitsgruppen entwickelt haben, analysiert um zu untersuchen, ob die Landau-de Gennes Variante und die Oseen-Frank Variante äquivalent sind.
Dafür werden mehrere Modelle, die andere Arbeitsgruppen entwickelt haben, analysiert um zu untersuchen, ob die Landau-de Gennes Variante und die Oseen-Frank Variante äquivalent sind. Äquivalent heißt, dass die Suchräume eine 1-1 Korrespondenz haben und die Minimierer der Energien korrespondieren, sprich beide Modelle das gleiche Ergebnis liefern.
## Arbeitsschritte
## Quellen
1) *Grundlagen im $`ℝ^d`$*: [„Paper Orientability and Energy Minimization in Liquid Crystal Models“](https://doi.org/10.1007/s00205-011-0421-3) von Ball & Zarnescu verstehen
- Ergebnis zur Äquivalenz der Modelle verstehen
- Beweis verstehen
- Gegenbeispiele verstehen und verstehen, woran es scheitert (um zu verstehen, warum die Voraussetzungen nötig sind)
2) *Übertragung auf Mannigfaltigkeiten*: $`ℝP^d`$ und $`Q`$-Tensoren auf Oberflächen verstehen und Zusammenhang von tangentialen $`Q`$-Tensoren und tangentialen Vektoren verstehen und erläutern. Quellen können (u.a.) die Paper mit den Energiemodellen sein.
3) *Recherche*: Verschiedene Energiemodelle, beginnend bei [„Nematic liquid crystals on curved surfaces: a thin film limit”](https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2017.0686) verstehen und untersuchen, inwieweit die beiden Modelle aquivalent sind.
Zur Recherche gehört auch, herauszufinden, welche Modelle durch diese Mathematik untersuchbar sind.
4) *Forschung*: Untersuchung und Beweis, welche Ergebnisse analog zu Ball&Zarnescu auf den Mannigfaltigkeitsrahmen übertragbar sind
5) *Motivation*: physikalische und technische Hintergründe recherchieren und kurz erläutern
## Betreuung
- Grundsätzlich Betreuung durch Hanne
- wenn Hanne durch private Gründe nicht erreichbar ist oder nicht arbeitet: in erster Linie Dr. Simon Praetorius, ansonsten Prof. Sander
- Ansprechpartner zum Modell aus dem IWR bei Fragen: Ingo Nitschke
- alle 2 Wochen ein (digitales) Treffen, solange möglich mit Hanne
- Vorbereitung zum Treffen durch Felix:
- was habe ich getan und gelesen?
- welche Hindernisse und Probleme habe ich?
- was ist mein Zeitplan für die nächsten 2 Wochen?
- Evaluation des Zeitplans der letzten 2 Wochen
- Hanne berät, damit Felix sich nicht zu weit in ein Nebenthema verrennt
Ergebnisse werden möglichst früh verschriftlicht und später für bessere Lesbarkeit verbessert.
Hanne und Prof. Sander geben Rückmeldung zu ausgewählten (Unter)kapiteln, u.a. um zum Schreibstil zu beraten.
## Offene Fragen
- Beschränken wir uns auf $`d = 3`$? Macht dasUnterschied, oder machen mehr Dimensionen auch keinen Unterschied?
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