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my understanding of the models based on B&Z paper

this is different from the way Hanne explained it to me (or I understood Hanne)
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...@@ -6,8 +6,9 @@ Die Masterarbeit untersucht die Zusammenhänge verschiedener Modelle *uniaxialer ...@@ -6,8 +6,9 @@ Die Masterarbeit untersucht die Zusammenhänge verschiedener Modelle *uniaxialer
Die Modelle gehen davon aus, dass sich Flüssigkristalle so ausrichten, dass eine durch die Ausrichtung bestimmte Energie minimiert wird. Die Modelle gehen davon aus, dass sich Flüssigkristalle so ausrichten, dass eine durch die Ausrichtung bestimmte Energie minimiert wird.
Jedes einzelne Kristall(molekül) ist in eine Richtung ausgerichtet und symmetrisch. Das heißt, dass entgegengesetzte Orientierungen als gleich angesehen werden. Jedes einzelne Kristall(molekül) ist in eine Richtung ausgerichtet und symmetrisch. Das heißt, dass entgegengesetzte Orientierungen als gleich angesehen werden.
Das *Oseen-Frank-Modell* modelliert die Ausrichtung eines Moleküls als Einheitsvektor und identifiziert entgegengesetzte Vektoren miteinander. Der Raum aller möglichen Ausrichtungen ist damit der projektive reelle Raum $`ℝP^d`$. Das *Oseen-Frank-Modell* modelliert die Ausrichtung eines Moleküls als Einheitsvektor. Der Raum aller möglichen Ausrichtungen ist damit die $`d-1`$-Sphäre $`S^2`$.
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Vektorfeld $`v : Ω → ℝP^d`$. Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Vektorfeld $`v : Ω → S^2`$.
Das Oseen-Frank-Modell ignoriert die Symmetrie der möglichen Ausrichtungen.
Wir suchen das Vektorfeld, das die Energie Wir suchen das Vektorfeld, das die Energie
```math ```math
E_{\text{OF}}(v) = ∫_{Ω} W(v, ∇v) dx E_{\text{OF}}(v) = ∫_{Ω} W(v, ∇v) dx
...@@ -23,6 +24,7 @@ Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω ...@@ -23,6 +24,7 @@ Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω
E_{\text{LG}}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx E_{\text{LG}}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx
``` ```
minimiert. minimiert.
Das Landau - de-Gennes - Modell beachtet die Symmetrie, da $`Q`$ für $`n`$ und $`-n`$ gleich ist. Der Parameter $`s`$, genannt *scalar order parameter*, wird als konstant angenommen.
J. Ball & Zarnesco („B&Z“) haben [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω ⊂ ℝ^d`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind. J. Ball & Zarnesco („B&Z“) haben [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω ⊂ ℝ^d`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.
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