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# Numerische Analysis von mannigfaltigkeitswertiger TV-Regularisierung
(bei Hanne)
## Erster Überblick
* TV = total variation (ca. L^1-Norm der Ableitung + Abstand zu Daten)
* -> Minimierungsproblem (nicht in DGL umwandelbar, da nicht glatt genug)
* Bildwerte in Mannigfaltikkeit, z.B. pos.def. Matrizen
* Anwendung: image processing
* Diskretisierung: meist finite Differenzen, da oft auf Pixelgittern
* Wie hängen FEM, FinDiff zusammen? Bei 2D: nicht mehr gleich → interessante Frage: kann man die ineinander umwandeln? Kann man den Fehler formulieren? → sind die Lösungen nah genug beieinander?
* In euklidischem Fall: Dichteresultat (C^∞), in Mf-Welt nicht mehr. Bei TV: C^∞ plus wenige Unstetigkeitsstellen
* viele Quellen
* ⇒ klingt interessant. Würde gerne wissen: wie sind Finite Differenzen definiert, wenn es keine Differenz von Funktionswerten gibt? Würde mir gerne 1-D Fall anschauen.
## Zusammenfassung der Ziele:
1) Verstehen der "Colocal weak differentiability" und des Zusammenhangs zu anderen Konstruktionen für Mannigfaltigkeiten (insbesondere Ansätze für metrische Räume und Nash-Einbettungen)
2) Zusammenhang mit den Smoothness-Descriptoren verstehen
3) Interpretation der Zusammenhänge, Folgen für Dichte-Resultate, Folgen für die numerische Analysis
## Material:
1) hardering-sander-geofe-overview-2019.pdf: Ein Buchkapitel, das eine Zusammenfassung zum Thema "Geometrische Finite Elemente" ist; enthält auch die smoothness descriptoren (außerhalb des Repos)
2) Convent, Schaftingen: "Intrinsic colocal weak derivatives and Sobolev spaces between manifolds" und "Higher order weak differeniability and Sobolev spaces between manifolds": Colocal weak differentiability
3) Eigentlich auch wieder diverse Grundlagen, die aber in den Papern oben zitiert werden
## Notizen & Fragen zu Hanne-OS-Projection-Based-Finite-Elements-for-Nonlinear-Function-Spaces
* gibt es Unterschiede zwischen https://arxiv.org/pdf/1803.06576.pdf und dem geschickten? In Arxiv-Version kann man suchen und ist schärfer, ist daher praktischer.
* Zu Seite 1: Macht es im Computerprogramm einen Unterschied, ob wir die Werte an den Eckpunkten nehmen oder die Eckpunkte als Werte für Finite Elemente, die wir projezieren? Mathematisch ist das offenbar ein Unterschied, aber auch, wenn man es dann implementiert, es werden ja dieselben Daten verwendet?
* Was heißt eigentlich testen? Normalerweise heißt Γ testen mit φ: betrachte $`∫Γφ`$, aber was soll Multiplikation im MF-Kontext heißen? → Skalarprodukt im umliegenden ℝ$`^n`$?
* Was bedeutet Integration? Wir haben Integration von Funktionen M → ℝ, aber nicht ℝ → M betrachtet in Diffgeo. Werden die Funktionen als Funktionen nach ℝ$`^n`$ betrachtet und dann integriert (→ ℝ$`^n`$ wertiges Integral, aber vermutlich ℝ-wertig dank Multiplikation mit Testfunktion)
### Detailfragen:
* In Definiton 1 bilden die Basisfunktionen nach ℝ (nicht ℝ$`n`$) ab, in Definition 3 wird das wiederholt. Aber die Linearkombinationen dieser Basisfunktionen sollen nach ℝ$`^n`$ abbilden. Wie passt das? In 1.2. Relationship ... funktioniert die argmin-Konstruktion auch nur für ℝ.
* In 1.1 Conformity wird behauptet, wir brauchen Stetigkeit von skript-P, aber in der Erläuterung wird Differentiabilität gebraucht. Hä?
## Notizen
- untersuchte Funktionen: Sobolev $Ω ⊆ $ℝ$`^m`$ → ℝ$`^n`$, die in $M$ fallen
- FE = FE in ℝ$`^n`$, dann nächste Punkte auf M gesucht "Pointwise Projection" → ergibt konforme FE (d.h. $V_h ⊆ W^{k, p}$)
# Wie hängen Räume mit beschränkten Smoothness-Descriptoren mit 'colocally weakly differentiable maps' zusammen?
* Mf-wertige Funktionen: Sobolevfunktionen (gibt versch. Defs!)
* hier: Einbettung in ℝ^d. Nimm welche Sobolev & in Mf liegen → kein sinnvolle Norm.
* Smoothmess-Deskriptor: Norm-Ersatz, nur auf stetigen Funktionen definiert
* colocally wd: andere Sobolevdef. (über Funktionen nach ℝ, die Sobolev sind) → „intrinsische Normbegriffe“ → nicht mit Kettenregel kompatibel → komische Konstruktion um reparieren
* Gefühl: beides ist das gleiche. To check: ist das das gleiche?
* auch interessant: Dichteresultat
* ⇒ auf jeden Fall interessant. Was war die Fragestellung zum Dichteresultat?
## Zusammenfassung der Ziele:
1) Verstehen der "Colocal weak differentiability" und des Zusammenhangs zu anderen Konstruktionen für Mannigfaltigkeiten (insbesondere Ansätze für metrische Räume und Nash-Einbettungen)
2) Zusammenhang mit den Smoothness-Descriptoren verstehen
3) Interpretation der Zusammenhänge, Folgen für Dichte-Resultate, Folgen für die numerische Analysis
## Material:
1) hardering-sander-geofe-overview-2019.pdf: Ein Buchkapitel, das eine Zusammenfassung zum Thema "Geometrische Finite Elemente" ist; enthält auch die smoothness descriptoren (hängt an)
2) Convent, Schaftingen: "Intrinsic colocal weak derivatives and Sobolev spaces between manifolds" und "Higher order weak differeniability and Sobolev spaces between manifolds": Colocal weak differentiability
3) Eigentlich auch wieder diverse Grundlagen, die aber in den Papern oben zitiert werden
# Diskretisierung und Implementierung eines Modell für Cosserat-Plastizität
(praktischer als a), b), f)
* Klasse von Modellen für Festkörper. Erweitung Cosserat: an jedem Punkt bewegt sich jeder Punkt zu einem neuem Ort _+_ Orientierung → versch. Modelle. Bisher betrachtet in NUM TUD: elastisch. Plastisch + Cosserat wurde betrachtet. Aufgabe: verstehen und umsetzen. Mf: weil orthogonale Matrizen
* (keine Funkana). Modelle sind kompliziert, dafür werden keine Beweise erwartet. Diskretisierung dabei, wurde bisher nicht gemacht
* (offene Frage: Fehlerabschätzung für elastisches Modell. Kein Ma-Arbeitsthema.)
# Residuenfehlerschätzer konstruieren und implementieren
(praktischer als a), b), f)
* für Mf-Situation. Bisher keine Schätzer. Konzepte wie Vektorräume fehlen. Wir haben Residuen. Idee: diskrete Funktionen in DGL einsetzen. Bisher: „wolkige Ideen“. Hier einfacherer Fall: nur für harmonisches Problem, wo DGL existiert
## Material:
Mir gefällt dazu eigentlich das Buch von Rüdiger Verfürth am besten: "A Posteriori Error Estimation Techniques for Finite Element Methods", und darin Kapitel 1.1-1.4 und Kapitel 5. https://b-ok.cc/book/2918893/4d4a39
# de Casteljau-FE
(praktischer als a), b), f)
* Erfinder von Splines. Splines auswerten: de Casteljau- Algorithmus. → Verallgemeinerung von Splines. Hoffnung: Approximationsgüte. Praktikant: hat bisschen was umgesetzt, nicht so toll. In Eukl.: expliziet Darstellung, geht jetzt nicht
# Sind mannigfaltigkeitswertige Sobolev-Räume Diffeologien?
* Problem: Räume von Funktionen: haben die Strukturen (in eukl.: affin, Banach, ...). Jetzt hoffnung: Räume sind wieder MF. Sind sie aber i.A. nicht (nur C^∞ z.B.). Bei Sobolev nicht. Idee: metrische Räume, nicht so toll. Neue Idee: Diffeologien. Vermutung: sind alles Diffeologien. Nicht klar, ob das was bringt. (Hanne findet es irrelevant. Sieht keine Verbindung. Ihre Wahrnehmung: Diffeologien = MF mit unterschiedlichen Dimensionen)
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