Commit e8bf47c9 authored by Felix Hilsky's avatar Felix Hilsky
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......@@ -19,17 +19,17 @@ Es geht um Metriken (d.h. Skalarprodukte auf (Riemannschen) Mfk.) und die zugeh
## Riemannian Metrics
- Def. *Riemannian metric*: glatter "covarianter" 2-tensor-field $g ∈ skript-T^2(M)$, sodass $g_p$ ist ein Skalarproduct (inner product) auf $T_p M$ für alle $p$ (d.h. positive-definit)
- Def. *Riemannian metric*: glatter "covarianter" 2-tensor-field $`g ∈ skript-T^2(M)`$, sodass $`g_p`$ ist ein Skalarproduct (inner product) auf $`T_p M`$ für alle $`p`$ (d.h. positive-definit)
- Def. *Riemannian manifold*: Mannigfaltigkeit mit Metrik
- 2.4: jede Mfk. kann mit einer R. Metrik ausgestattet werden
- $φ: M → \tilde M$ *Isometrie* $⇔$ $φ$ Diffeo und $φ^* \tilde g = g$ (pull-back) $$ $dφ_p : T_p M → T_{φ(p)} \tilde M$ sind Isometrien für alle $p$.
- $\operatorname{Iso}(M, g) = \operatorname{Iso}(M)$ ist die Gruppe der Isometrien $(M, g) → (M, g)$
- *local Isometry*: für jeden Punkt ist $φ$ eine Isometrie auf einer Umgebung
- *flat* $$ lokal isometrisch zu $ℝ^n$ mit Standardskalarprodukt
- $`φ: M → \tilde M`$ *Isometrie* $`⇔`$ $`φ`$ Diffeo und $`φ^* \tilde g = g`$ (pull-back) $`⇔`$ $`dφ_p : T_p M → T_{φ(p)} \tilde M`$ sind Isometrien für alle $`p`$.
- $`\operatorname{Iso}(M, g) = \operatorname{Iso}(M)`$ ist die Gruppe der Isometrien $`(M, g) → (M, g)`$
- *local Isometry*: für jeden Punkt ist $`φ`$ eine Isometrie auf einer Umgebung
- *flat* $`⇔`$ lokal isometrisch zu $`ℝ^n`$ mit Standardskalarprodukt
- d.h. man kann ein *orthonormal coordinate frame* finden (geht nicht immer, auch wenn man immer ein orthonormales frame (2.8) finden kann)
- $g$ kann geschrieben werden als:
$$g = g_{ij} dx^i \otimes dx^j = g_{ij} dx^i dx^j \text{ mit } g_{ij(p)} = ⟨∂/∂x_i|_p, ∂/∂x_j|_p⟩$$
wobei $g_{ij}$ glatte Funktionen sind, $(g_{ij})_{ij}$ ist nicht-singulär und symmetrisch und $ab = a \otimes b + b \otimes a$. Allgemeiner für beliebige Basen s. 2.8 S. 13.
- $`g`$ kann geschrieben werden als:
$$`g = g_{ij} dx^i \otimes dx^j = g_{ij} dx^i dx^j \text{ mit } g_{ij(p)} = ⟨∂/∂x_i|_p, ∂/∂x_j|_p⟩`$$
wobei $`g_{ij}`$ glatte Funktionen sind, $`(g_{ij})_{ij}`$ ist nicht-singulär und symmetrisch und $`ab = a \otimes b + b \otimes a`$. Allgemeiner für beliebige Basen s. 2.8 S. 13.
## Notation und Definitionen:
......@@ -77,10 +77,10 @@ S. 382 hat eine komplizierte Definition dafür, die aussagt: ist das, was wir de
- TM als Vektorbündel: local trivialisation ist $`Φ(v) = (p, (v^1, ..., v^n))`$ mit $`v = v^i ∂/∂x^i|_p`$
- vector field = section von TM. Raum von vector fields $` = Γ(TM) = script-X(M)`$
- falls $`dF(X_p) = Y_{F(p)} \, ∀ p`$, heißen $`X`$ und $`Y`$ *$`F`$-related*
- für $F$ Diffeo (also bijektiv!): $F_*X$ heißt *pushforward of $X$*:
- für $`F`$ Diffeo (also bijektiv!): $`F_*X`$ heißt *pushforward of $`X`$*:
$$((F_* X) f) ∘ F = X(f ∘ F)
- A.37: $X:C^∞(M) → C^∞(N)$ sind einzige *Derivationen*: $X(fg) = fXg + gXf$
- *Lie-Bracket*: $[X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)$ ⇒ ist wieder Vektorfeld
- A.37: $`X:C^∞(M) → C^∞(N)`$ sind einzige *Derivationen*: $`X(fg) = fXg + gXf`$
- *Lie-Bracket*: $`[X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)`$ ⇒ ist wieder Vektorfeld
- [,] ist vertauscht mit pushforwards; weiteres in Zsh. mit submanifolds auf S. 386f
## Smooth Covering Maps
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