Commit f3b186c7 authored by Felix Hilsky's avatar Felix Hilsky
Browse files

riemann metrics first notes until first exercise

parent 2a6e34e5
...@@ -16,8 +16,22 @@ Es geht um Metriken (d.h. Skalarprodukte auf (Riemannschen) Mfk.) und die zugeh ...@@ -16,8 +16,22 @@ Es geht um Metriken (d.h. Skalarprodukte auf (Riemannschen) Mfk.) und die zugeh
- Connections: Kapitel 4 S. 85 inkl. Covariant Derivatives S. 95, parallel Transport S. 105 - Connections: Kapitel 4 S. 85 inkl. Covariant Derivatives S. 95, parallel Transport S. 105
- Levi-Civita Connection Kapitel 5 S. 115 - Levi-Civita Connection Kapitel 5 S. 115
- Wenn man etwas anschaulich klares über Untermfk. zeigen will, schaue man in das Anhangskapitel Submanifolds. Dort sind viele Sätze - Wenn man etwas anschaulich klares über Untermfk. zeigen will, schaue man in das Anhangskapitel Submanifolds. Dort sind viele Sätze
### Notation und Definitionen: ## Riemannian Metrics
- Def. *Riemannian metric*: glatter "covarianter" 2-tensor-field $g ∈ skript-T^2(M)$, sodass $g_p$ ist ein Skalarproduct (inner product) auf $T_p M$ für alle $p$ (d.h. positive-definit)
- Def. *Riemannian manifold*: Mannigfaltigkeit mit Metrik
- 2.4: jede Mfk. kann mit einer R. Metrik ausgestattet werden
- $φ: M → \tilde M$ *Isometrie* $⇔$ $φ$ Diffeo und $φ^* \tilde g = g$ (pull-back) $⇔$ $dφ_p : T_p M → T_{φ(p)} \tilde M$ sind Isometrien für alle $p$.
- $\operatorname{Iso}(M, g) = \operatorname{Iso}(M)$ ist die Gruppe der Isometrien $(M, g) → (M, g)$
- *local Isometry*: für jeden Punkt ist $φ$ eine Isometrie auf einer Umgebung
- *flat* $⇔$ lokal isometrisch zu $ℝ^n$ mit Standardskalarprodukt
- d.h. man kann ein *orthonormal coordinate frame* finden (geht nicht immer, auch wenn man immer ein orthonormales frame (2.8) finden kann)
- $g$ kann geschrieben werden als:
$$g = g_{ij} dx^i \otimes dx^j = g_{ij} dx^i dx^j \text{ mit } g_{ij(p)} = ⟨∂/∂x_i|_p, ∂/∂x_j|_p⟩$$
wobei $g_{ij}$ glatte Funktionen sind, $(g_{ij})_{ij}$ ist nicht-singulär und symmetrisch und $ab = a \otimes b + b \otimes a$. Allgemeiner für beliebige Basen s. 2.8 S. 13.
## Notation und Definitionen:
- S. 375 (385) Koordinaten haben Indices oben (-> Einstein Summenkonvention). Koordinaten sind die Komponenten einer Karte - S. 375 (385) Koordinaten haben Indices oben (-> Einstein Summenkonvention). Koordinaten sind die Komponenten einer Karte
- "F is given in local coordinates by" erklärt auf Seite 375: Koordinatenrepräsentation mit Karten - "F is given in local coordinates by" erklärt auf Seite 375: Koordinatenrepräsentation mit Karten
...@@ -57,6 +71,22 @@ S. 382 hat eine komplizierte Definition dafür, die aussagt: ist das, was wir de ...@@ -57,6 +71,22 @@ S. 382 hat eine komplizierte Definition dafür, die aussagt: ist das, was wir de
- *(local) section of E*: ein Vektor pro Punkt. (local = nur in $`U ⊂ M`$. *rough (local) section*: nicht unbedingt stetig - *(local) section of E*: ein Vektor pro Punkt. (local = nur in $`U ⊂ M`$. *rough (local) section*: nicht unbedingt stetig
- *local/global frame for E*: Sammlung von sections, die in jedem Punkt Basis sind - *local/global frame for E*: Sammlung von sections, die in jedem Punkt Basis sind
- section ist smooth ⇔ components sind smooth - section ist smooth ⇔ components sind smooth
## Tangent Bundle & Vector Fields
- TM als Vektorbündel: local trivialisation ist $`Φ(v) = (p, (v^1, ..., v^n))`$ mit $`v = v^i ∂/∂x^i|_p`$
- vector field = section von TM. Raum von vector fields $` = Γ(TM) = script-X(M)`$
- falls $`dF(X_p) = Y_{F(p)} \, ∀ p`$, heißen $`X`$ und $`Y`$ *$`F`$-related*
- für $F$ Diffeo (also bijektiv!): $F_*X$ heißt *pushforward of $X$*:
$$((F_* X) f) ∘ F = X(f ∘ F)
- A.37: $X:C^∞(M) → C^∞(N)$ sind einzige *Derivationen*: $X(fg) = fXg + gXf$
- *Lie-Bracket*: $[X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)$ ⇒ ist wieder Vektorfeld
- [,] ist vertauscht mit pushforwards; weiteres in Zsh. mit submanifolds auf S. 386f
## Smooth Covering Maps
- nicht benötigt, soweit ich das sehe
- erinnert mich an schöne Beweise in GEOGT
## sonstige Fragen ## sonstige Fragen
......
Supports Markdown
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment