Commit 5edcebea authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-04-02

parent ccc62db5
......@@ -6,7 +6,9 @@ while read -r directory events filename; do
cp edit-this-file.tex tmp.tex
python3 preprocessor.py
pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o gdim.tex --metadata-file meta.yaml
pdflatex gdim.tex --non-stop-mode
echo "wait for next change..."
pdflatex -interaction=nonstopmode gdim.tex
#pdflatex gdim.tex
echo "wait for next change..."
fi
done
* Compiled on \today
* Ü1
bla
......@@ -20,7 +22,7 @@ bla
****** Ü6
* Ü
* Ü2
bla bla bla
......@@ -42,13 +44,15 @@ Zitat:
Zitatinhalt
#+END_QUOTE
German „quotes“ and ‚inner quoates‘.
* Thema
** Definition
Sei $x\in \mathbb R$, dann:
$$=
$$1
x=\sqrt{b}
$$=
$$1
für ein $b\in \mathbb C$.
Beweis:
......@@ -56,8 +60,7 @@ Beweis:
- Als erstes $f\colon A \to B$
- Nun noch
$$
3
&=& 2 + 1
3 5&=& 2 + 1
\\&=& 1 + 1 +1
$$
......@@ -70,3 +73,108 @@ Beweis:
* Siehe vorheriger Beweis
* dann erhalte nichts
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
* Erinnerungen an WS
Wir studieren Mannigfaltigkeiten (Mfg).
$\approx$ topologische Räume, die lokal wie $\mathbb R^n$ aussehen + glatte ~Strukturen~ von glatten Abbildungen zu sprechen.
Konkret: um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U\ni p$ zusammen mit einer Karte $x\colon U\to \mathbb R^n$
%Bild 1
Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Analysis auch auf $M$ zu verstehen.
~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)
1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
%TODO %TYPO: remove space here
$$
T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
\\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
$$
Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung!
%Bild 2
$\pi \colon TM \to M$ ist glatt
$v\in T_pM \mapsto p$
Nutzen: wir verstehen „wirklich“, was Ableitungen sind
Früher:
$$
f\in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb R^n) &\rightsquigarrow& D_pf \in \mathbb M_{n\times m} (\mathbb R)
\\&& Df \in C^\infty(\mathbb R^m, \mathbb M_{n\times m}(\mathbb R))
$$
Jetzt in Diffgeo:
$$1
f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear}
$$1
%Bild 3
2. ODEs als Flüsse von Vektorfeldern
%Bild 4
Vektorfeld: $X\colon M \to TM$ mit $\pi \circ X = id_M$ ($\Leftrightarrow X(p) \in T_pM$)
Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes)
s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE
$$1
\dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
$$1
lässt
3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$
$(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$ wird zu einer Lie-Algebra.
Def. Eine Lie-Algebra $(V, [\cdot, \cdot])$ ist ein Vektorraum $V$ mit einer bilinearen Abbildung $[\cdot, \cdot]: V\times V \to V$ mit folgenden Eingenschaften:
1. $[X,Y] = -[Y,X]$, $\ X$, $Y \in V$
2. Jacobi-Identität: $X$, $Y$, $Z\in V$:
$$
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X,Y]] = 0
$$
Beispiele:
1. $\Gamma(TM)$, $[\cdot, \cdot]$ ist eine Lie-Algebra
2. $\mathbb M_u(\mathbb R)$, $[A,B] = AB - BA$ ist eine Lie-Algebra
Verbindung zwischen 1) und 2)%ref
-- Lie-Gruppen
Lie-Gruppe $=$ Mannigfaltigkeit und Gruppe (auf kompatible Weise) Multiplikation, Inversion glatt.
$G$ Lie-Gruppe $\rightsquigarrow \operatorname{Lie}(G) = 2(G) = \{ X\in \Gamma(TG) \ |\ \underbrace{(Lg)_*}_{(Lg)_{*,p} = D_pLg} X = X \} = \{ x\ |\ x \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \}$
$\rightarrow$ Lie-Algebra bzgl. $[\cdot, \cdot]$, heißt Lie-Algebra von $G$.
Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum
$\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$
%TODO %TYPO vertical space
$$
Lg \colon G &\to& G\\
h &\mapsto& g\cdot h
$$
Satz $G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)$
$\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)$
Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren!
$$1
(\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])
$$1
Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$.
$$1
[A,B] = AB - BA
$$1
---
title: 'GDIM'
title: 'DGEO Sommersemester 2019 alpha version'
author:
- 'Dozent: '
- 'Satz: '
- 'Version: '
lang: de
papersize: a4
toc: yes
......
#TODO Algorithmic efficiency
import re
filename = "tmp.tex"
with open(filename, 'r') as file:
......@@ -7,13 +9,19 @@ with open(filename, 'r') as file:
copy = data
while True:
data = copy
copy = copy.replace("\n$$\n", '\n\\begin{eqnarray*}\n', 1)
copy = copy.replace("\n$$\n", '\n\\end{eqnarray*}\n', 1)
copy = copy.replace("\n$$=\n", '\n\\begin{equation*}\n', 1)
copy = copy.replace("\n$$=\n", '\n\\end{equation*}\n', 1)
copy = re.sub("(?<!\\\\)\%.*\n", '', copy)
copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\begin{eqnarray*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\end{eqnarray*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\begin{equation*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\end{equation*}\n', copy, 1)
print(data, copy)
if data == copy:
break
data = re.sub(r'\\%', '%', data)
with open(filename, 'w') as file:
file.write(data)
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