Kollokationsverfahren

steife-differentialgleichungen.tex

@@ -659,8 +659,82 @@ Welche Ordnung kann man maximal erzielen?
 	\end{itemize}
 	Beweis davon: \"Ubung. \cite[Lemma~6.4]{deuflhard_bornemann:2008}
 \end{proof}
-\section{Kollokationsverfahren}
 
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+\section{Kollokationsverfahren}
+Wie konstruiert man jetzt konkrete RK-Verfahren?
+\begin{itemize}
+	\item Die folgende Idee ist unabh\"angig von den RK-Verfahren entwickelt worden.
+	\item Das man dadurch implizite RK-Verfahren erh\"alt wurde erst in den 1970ern entdeckt.
+\end{itemize}
+Betrachte 
+$$ x' = f(t,x) $$
+\begin{itemize}
+	\item Seien $(t,x) \in \Omega$ und eine Schrittweite $\tau$ gegeben.
+	\item Gesucht: Ein Schritt einer diskreten Evolution $\Psi^{t + \tau, t} x$.
+\end{itemize}
+\textbf{Idee:}
+\begin{itemize}
+	\item W\"ahle $s$ St\"utzstellen im Intervall $(t, t+ \tau)$
+		$$ t + c_i \tau, \qquad 0 < c_1 < c_2 < \dots < c_s \le 1 $$
+	\item Konstruiere ein Polynom $u \in P_s^d$, das 
+		\begin{enumerate}
+			\item \label{enum:colloq_AW} den Anfangswert $u(t) = x$ erf\"ullt und 
+			\item \label{enum:colloq_DGL}  die Differentialgleichung an den St\"utzstellen erf\"ullt
+				$$ u'(t + c_i \tau) = f(t + c_i \tau, u(t+c_i \tau)), \qquad i=1,\dots, s. $$
+			\item \label{enum:colloq_Disc} Setze
+				$$ \Psi^{t+\tau,t} x \colonequals u(t+\tau) $$ \todo{Ein Bild!}
+		\end{enumerate}
+		Diese Bedingungen nennen wir Kollokationsbedingungen
+\end{itemize}
+Einziger Parameter des Verfahrens: Die relativen St\"utzstellen $c_1, \dots, c_s$. Wir ahben $s+1 $ Bedingungen an ein Polynom $s$-ten Grades.
+\begin{itemize}
+	\item Wir \underline{vermuten}, dass ein eindeutiges $u$ existiert (zumdinest f\"ur kleine $\tau$).
+	\item Klar ist das nicht, denn die Gleichungen f\"ur $u$ sind nichtlinear!
+\end{itemize}
+Einfacher Ausweg: Wir interpretieren das Verfahren als implizites RK-Verfahren. Dann liefert Satz \ref{satz:RK_Existenz_und_Eindeutigkeit} Existenz und Eindeutigkeit.
+\begin{itemize}
+	\item Angenommen es existiere eine L\"osung $u \in P^d_s$.
+	\item Sei $\{ L_1, \dots, L_s\}$ die Lagrange-Basis von $P_{s-1}$ bez\"uglich der $c_i$, also
+		$$ L_i(c_j) = \delta_{ij}, \qquad i,j = 1, \dots, s.$$
+	\item $u'$ ist in $P_{s-1}^d$, und hat Lagrange-Darstellung
+		\begin{equation} \label{eq:def_kj}
+			u'(t+ \theta \tau) = \sum_{j=1}^{s} \underbrace{u'(t + c_j \tau)}_{k_j \colonequals} L_j(\theta) =  \sum_{j=1}^{s} k_j L_j(\theta).
+		\end{equation}
+	\item Wir integrieren und nutzen die Kollokationsbedingung \ref{enum:colloq_AW}: $u(t) = x$
+		\begin{align*}
+			u(t+c_i \tau) &= u(t) + \int_{t}^{t+c_i\tau} u'(s) \, ds \\
+				&= x + \tau \int_{0}^{c_i} u'(t + \theta \tau) \, d\theta \\
+				&= x + \tau \int_{0}^{c_i}  L_j(\theta) \, d\theta \\
+				&= x + \tau \sum_{j=1}^{s} k_j \underbrace{\int_{0}^{c_i} L_j(\theta)
+					 \, d\theta}_{a_{ij} \colonequals} \\
+				&= x + \tau  \sum_{j=1}^{s} a_{ij} k_j. 
+		\end{align*}
+	\item Das setzen wir in die Kollokationsbedingung \ref{enum:colloq_DGL} ein:
+		$$ k_i = f(t + c_i \tau, x + \tau  \sum_{j=1}^{s} a_{ij} k_j ), \qquad i=1,\dots,s.$$
+	\item Abschlie\ss end benutzen wir die Kollokationsbedingung \ref{enum:colloq_Disc}:
+		\begin{align*}
+			\Psi^{t+\tau, t} x &= u(t + \tau) \\
+				&= x + \tau \int_0^1 u'(t + \theta \tau) \, d\theta \\
+				&= x + \tau \int_0^1  \sum_{j=1}^{s} k_j L_j(\theta) \, d\theta \qquad (\text{wegen } \eqref{eq:def_kj}) \\
+				&= x + \tau sum_{j=1}^{s} b_j k_j \\
+			\intertext{mit}
+			b_j &=  \int_0^1  L_j(\theta) \, d\theta, \qquad  = 1,\dots,s.
+		\end{align*}
+\end{itemize}
+Wir erhalten tats\"achlich ein RK-Verfahren mit
+\begin{align*}
+	a_{ij} &= \int_0^{c_i} L_j(\theta) \, d \theta, && i,j = 1,\dots, s \\
+	b_j &= \int_0^1 L_j (\theta) \, d\theta, && j = 1,\dots, s.
+\end{align*}
+Diese Gr\"o\ss en h\"angen nur von den $c_i$ ab.
+\begin{itemize}
+	\item Die Stufen $k_i$ sind gerade die Ableitungen von $u$ an den St\"utzstellen $c_i$.
+	\item Durch Satz \ref{fehlt} \todo{REF!} bekommen wir die Existenz einer eindeutigen L\"osung f\"ur das Kollokationsproblem!
+	\item Deutlische Reduktion der Komplexit\"at: Nur noch $s$ Freiheitsgrade $c_1, \dots, c_s$ statt bisher $2s + s^2$ Freiheitsgrade $c,b, \mathcal A$.
+\end{itemize}
 \section{Dissipative Differentialgleichungen}
 
 \section{Linear-implizite Einschrittverfahren}