Errinnerung: eine glatte Funktion au $H^n$ ist per Definition die Einschränkung einer glatten Funktion von $\underbrace{ U }_{\mathbb R^n, \text{ offen}}\supseteq H^n$
Folglich ist $T_pH^n \cong T_p\mathbb R^n\quad\forall p\in\partial H^n =\mathbb R^{n-1}$
Daher gilt $T_pM$ hat Dimension $n$ selbst für Punkte auf
$\partial M$
!
(insbesondere $\neq T_p(\partial M)$)
** Definition
Sei $v \in T_p M$, $p\in\partial M$. $v$ heißt nach außen (bzw. nach innen) zeigend, wenn $v(x^n) < 0$ für jede Karte $(U,x)$ mit $x(p)=0$
%TODO Bild B3
** Bemerkung
Dies ist wohldefiniert, weil für jede andere Karte $(V,y)$ mit $y(p)=0$ gilt:
Für eine Mannigfaltigkeit mit Rand gilt: Es gibt eine Überdeckung $U =\{U_i\}_i$ von $M$ mit der Eigenschaft: jedes $U_i \subseteq c([0,1]^n)$, wobei $c\colon[0,1]^n\to M$ orientierungserhaltend mit entweder
$$
c([0,1]^n)\subset M\partial M
$$
oder
$$
c([0,1]^n)\cap\partial M = c_{n,0}([0,1]^{n-1})
$$
%TODO Bildchen B7
($U$ existiert nach Definition von einer Mannigfaltigkeit mit Rand: (benutze Karten)
** Notation
Wenn $M$ orientiert ist, bezeichnen wir durch $-M$ die Mannigfaltigkeit $M$ mit Umgekehrter Orientierung (mit Volumenform $-\omega$ statt $\omega$)
NB:%TODO NB?
$$
\int_{-M}\alpha=-\int_M \alpha
$$
** Satz(Newton, Leibnitz, Green, Gauss, Poincaré)
Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$, $\dim M = n$; sei $\omega\in\Omega^{n-1}(M)$, $\operatorname{supp}\omega$ ist kompakt. Dann gilt:
$$
\int_M \intd\omega=\int_{\partial M}\omega_{.,}
$$
Beweis:
Sei $U$ eine Überdeckung wie oben, $(\varphi_k)$ die untergeordnete Teilung der Eins, haben dann