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diffgeoI/chapters/chapter_1.tex

@@ -8,7 +8,7 @@ Seien $U,V\subset\mb R^n$. Eine Abbildung $f\colon U\to V$ heißt Diffeomophismu
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Sei $I\subset\mb R$. Eine (glatte) Abbildung $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
+Sei $I\subset\mb R$ ein Intervall. Eine (glatte) Abbildung $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
 \label{def_kurve}
 \end{defn}
 
@@ -25,7 +25,7 @@ Nachdem wir nun das Objekt Kurve definiert haben, widmen wir uns der ersten geom
 \begin{defn}
 Sei $\gamma\colon I=[a,b]\to\mb R^n$ eine stetige Kurve. Durch
 \begin{equation}
-L(\gamma):=\sup_{a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b}\lb \sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)} ~\vert~ n\in\mb N \rb
+L(\gamma):=\sup_{a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b \atop n\in \mathbb N}\lb \sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)} \rb
 \end{equation}
 definieren wir die Länge $L(\gamma)$ einer stetigen Kurve $\gamma$. Ist $L(\gamma)<\infty$, so heißt $\gamma$ rektifizierbar.
 \label{def_laenge}
@@ -35,7 +35,7 @@ definieren wir die Länge $L(\gamma)$ einer stetigen Kurve $\gamma$. Ist $L(\gam
 \begin{rem}
 Für den Fall, dass $\gamma\colon  I\to\mb R^n$ eine stetige Kurve ist und $I$ (halb-)offen, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle $I'\subset I$
 \begin{equation}
-L(\gamma) := \sup_{I'\subset I} \lb L\lt\left. \gamma\right.\vert_{I'}\rt\rb.
+L(\gamma) := \sup_{I'\subset I\atop I'\text{Intervall, abg.} } \lb L\lt\gamma\vert_{I'}\rt\rb.
 \end{equation}
 \end{rem}
 
@@ -53,7 +53,7 @@ Eigentlich reicht für dieses Theorem $\gamma\in C^1$ aus. Unserer Wahl nach ist
 
 \begin{proof}
 \begin{enumerate}
-    \item Die Summe $\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))}$ aus der Defintion \ref{def_laenge} wächst, wenn man die genutzte Partition verfeinert.
+    \item Die Summe $\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))}$ aus der Defintion \ref{def_laenge} wächst, wenn man die genutzte Partition verfeinert. (Dreicksungleichung)
     \item Es dürfen abgeschlossene Intervalle $I$ angenommen werden, denn für halb-/offene Intervalle ist die Länge als Supremum über abgeschlossene Teilintervalle definiert.
     \item Für glatte $\gamma\colon I\to\mb R^n$ gilt mit $I=[c,d]$ die Abschätzung
     $$ \norm{\gamma(d)-\gamma(c)} \leq (d-c)\sup_{t\in[c,d]} \norm{\dot\gamma(t)}$$
@@ -166,7 +166,7 @@ Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, we
 Im Fall von Def. \eqref{def_bogenpara} gilt für $a,b\in I$ mit $a<b$ die Gleichheit $L\lt \left. \gamma\right\vert_{[a,b]} \rt=b-a$
 \end{rem}
 
-Wenn $\gamma\colon I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)>0~\forall t\in I}$, dann ist die Abbildung
+Wenn $\gamma\colon I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)}>0~\forall t\in I$, dann ist die Abbildung
 \begin{eqnarray}
 s\colon [c,d] &\to & [0, L(\gamma)] \\
 s(t) &=&\int_c^t\norm{\dot\gamma(\tau)} {\rm d}\tau = L\lt \left. \gamma\right\vert_{[c,t]} \rt
@@ -250,7 +250,7 @@ Die Eindeutigkeit der Kurve für geg. $\gamma(t_0), e_i(t_0), \kappa_1,\ldots, \
 Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre Frenet-Kurve im Fall $n=2$, die nach Bogenlänge parametrisiert ist und bezeichnen $e_1,e_2$ die Frenet-2-Basis. Aus der Frenet-Gleichung wissen wie, dass $\dot e_1=\kappa e_e$ gilt. Sei nun $t_0\in I$. Wir interessieren uns für eine geometrische Interpretation von $\kappa(t_0)$. Da $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist, ist $\norm{\dot\gamma(t)}=1$ und damit $\dot\gamma(t)=e_1(t)$ und $\ddot\gamma(t)=e_2(t)$.
 
 \begin{prop}
-Sei $\gamma$ wie vorig beschrieben mit $\gamma(t_0)\neq 0$. Der Kreis mit Mittelpunkt $\gamma(t_0)+\frac{e_2(t_0)}{\kappa(t_0)}$ und Radius $\frac{1}{\kappa(t_0)}$ ist eindeutig bestimmt und approximiert die Kurve $\gamma$ im Punkt $\gamma(t_0)$ bis zurr zweiten Ordnung.
+Sei $\gamma$ wie vorig beschrieben mit $\gamma(t_0)\neq 0$. Der Kreis mit Mittelpunkt $\gamma(t_0)+\frac{e_2(t_0)}{\kappa(t_0)}$ und Radius $\frac{1}{\kappa(t_0)}$ ist eindeutig bestimmt und approximiert die Kurve $\gamma$ im Punkt $\gamma(t_0)$ bis zur zweiten Ordnung.
 \end{prop}
 \begin{proof}
 Folgt leicht aus Taylorentwicklung.
@@ -261,12 +261,12 @@ Der eben benannte Kreis wird Schmiegkreis von $\gamma$ and $\gamma(t_0)$ genannt
 \label{def_schmiegkreis}
 \end{defn}
 
-Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\simeq\mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\simeq \mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
+Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\cong \mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\cong \mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
 
 \begin{defn}
 Die Abbildung 
 \begin{eqnarray}
-\alpha\colon &I\to\mb R & \\
+\alpha\colon I&\to&\mb R  \\
 t&\mapsto&\alpha_0 + \int_{t_0}^{t}\kappa(\tau)\mr d\tau
 \end{eqnarray}
 heißt Winkel von $\gamma$.
@@ -299,7 +299,7 @@ n_\gamma := \frac{1}{2\pi} \int_a^b \kappa(\tau) \mr d\tau.
 \end{equation}
 \label{def_umlaufzahl}
 \end{defn}
-Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Wikipedia}. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt  = \exp\lt i\alpha(b) \rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in 2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
+Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Windungszahl} in der Wikipedia. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt  = \exp\lt i\alpha(b) \rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in 2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
 
 \begin{defn}
 Eine geschlossene Kuve $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^n$ heißt einfach geschlossen, wenn
@@ -320,7 +320,7 @@ Die Umlaufzahl einer einfach geschlossenen Kurve ist $\pm 1$.
 \section{Isoperimetrische Ungleichung}
 Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine einfach geschlossene Kurve und $\Omega\subset\mb R^2$ ein Gebiet mit $\partial\Omega=\gamma(I)$. Unterdiesen Bedingungen gilt die isoperimetrische Ungleichung
 \begin{equation}
-\int_\Omega \mr dx \mr dy =:A(\Omega) \leq \frac{1}{4\pi} L(\gamma)^2.
+A(\Omega) :=\int_\Omega \mr dx \mr dy \leq \frac{1}{4\pi} L(\gamma)^2.
 \end{equation}
 
 \begin{proof}
@@ -370,7 +370,7 @@ und damit die Behauptung $A(\Omega)\leq\frac{L(\gamma)^2r^2}{4\pi r^2} = \frac{L
 \begin{theo}
 Sei $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetige Kurve, welche das beschränkte Gebiet $\Omega$ derart berandet, sodass das Frenet-2-Bein von $\gamma$ positiv orientiert ist. Seien weiterhin $p$, $q\colon \bar\Omega\to\mb R$ glatte Abbildungen. Dann gilt
 \begin{equation}
-\int_\gamma p(x,y)\mr dx + q(x,y)\mr d y = \int_\Omega \lt \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} \rt (x,y) \mr dx\mr d
+\int_\gamma p(x,y)\mr dx + q(x,y)\mr d y = \int_\Omega \lt \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} \rt (x,y) \mr dx\mr d y
 \end{equation}
 \end{theo}
 

diffgeoI/chapters/chapter_2.tex

@@ -10,7 +10,7 @@ Sei $M\subset\mb R^n$ eine Teilmenge und $p\in M$. Dann sind folgende Aussagen
         \item $D_{\psi^{-1}(p)} \psi $ ist injektiv.
     \end{enumerate}
     
-    \item (lokale Darstellung durch eine Untermannigfaltigkeitskarte) Es existiert eine offene Umgebung $U\subset\mb R^n$ von $p$, eine offene Teilmenge $\widehat V\subset\mb R^n$ und ein Diffeomorphismus $\psi\colon \widehat V\to \widehat U$, sodass $M\cap \widehat U=\psi\lt \widehat V \cap\lt \mb R^m\times\lb 0\rb \rt \rt$.
+    \item (lokale Darstellung durch eine Untermannigfaltigkeitskarte) Es existiert eine offene Umgebung $\widehat U\subset\mb R^n$ von $p$, eine offene Teilmenge $\widehat V\subset\mb R^n$ und ein Diffeomorphismus $\Psi\colon \widehat V\to \widehat U$, sodass $M\cap \widehat U=\Psi\lt \widehat V \cap\lt \mb R^m\times\lb 0\rb \rt \rt$.
     
     \item (lokale Darstellung als Nullmenge) Es existiert eine offene Umgebung $\widehat U\subset\mb R^n$ von $p$ und eine glatte Funktion $F\colon \widehat U\to\mb R^{n-m}$, sodass
     \begin{enumerate}
@@ -63,7 +63,7 @@ ist auch eine Karte, jedoch nur für die obere Halbsphäre. In der DG studiert m
 \begin{center}
 \begin{tikzcd}
 V^\Psi \ar{r}{\Psi}       & U^\Psi                      &\subset  &\mb R^n \\ [-20pt]
-\rotatebox{90}{$\subset$} & \rotatebox{90}{$\subset$}   &         &\rotatebox{90}{$\subset$} \\ [-20pt]
+\rotatebox{90}{$\subseteq$} & \rotatebox{90}{$\subseteq$}   &         &\rotatebox{90}{$\subseteq$} \\ [-20pt]
 V^\psi \ar{r}{\psi}       & U^\psi                      &\subset  & M
 \end{tikzcd}
 \end{center}
@@ -79,11 +79,11 @@ An den Stellen, wo sich Kartenumgebungen $U^\Psi, U^\Phi$ schneiden, sind Karten
 
 \section{Tangentialraum}
 \begin{defn}
-Sei $M\subset\mb R^n$ eine Untermannigfaltigkeit, $p\in M$ und $\psi\colon V\to U$ eine Karte um $p$. Der Tangentialraum zu $M$ an $p$ ist definiert als $T_pM:=\mr{Im}\, D_{\psi^{-1}(p)}\psi\subset\mb R^n$.
 \label{def_tangentialraum}
+Sei $M\subset\mb R^n$ eine Untermannigfaltigkeit, $p\in M$ und $\psi\colon V\to U$ eine Karte um $p$. Der Tangentialraum zu $M$ an $p$ ist definiert als $$T_pM:=\mr{Im}\, D_{\psi^{-1}(p)}\psi\subset\mb R^n$$
 \end{defn}
 
-Man muss nun überprüfen, dass $T_pM$ ist wohldefiniert ist, d.h., dass er von der Wahl der Karte $\psi$ nicht abhängt. Ist $\phi\colon V^\phi\to U^\phi$ eine andere Karte und $p\in U^\phi\cap U^\psi$, dann ergibt sich zunächst das folgende kommutative Diagramm:
+Man muss nun überprüfen, dass $T_pM$ wohldefiniert ist, d.h., dass er von der Wahl der Karte $\psi$ nicht abhängt. Ist $\phi\colon V^\phi\to U^\phi$ eine andere Karte und $p\in U^\phi\cap U^\psi$, dann ergibt sich zunächst das folgende kommutative Diagramm:
 
 \begin{center}
 \begin{tikzcd}
@@ -117,7 +117,7 @@ Die Tangentialvektoren $v\in T_pM$ können wir auch als Richtungsableitungen auf
 \begin{eqnarray}
 v(f)&=& D_pf(v) \\
     &=& D_p\lt f\circ\Psi\circ\Psi^{-1} \rt(v) \\
-    &=& D_{x}\lt f\circ\Psi \rt \circ \underbrace{D_p\Psi^{-1}(v)}_{\in T_pM} \\
+    &=& D_{x}\lt f\circ\Psi \rt \circ \underbrace{D_p\Psi^{-1}(v)}_{\in \mathbb R^m\times\{0\}} \\
     &=& D_{x}\lt f\circ\psi \rt(v)
 \end{eqnarray}
 
@@ -174,7 +174,7 @@ Dies bedeutet, dass die Matrix $G_x$ die Matrix des Skalarproduktes $g_x^\psi$ i
 
 Es sei als Beispiel $M=S^2$ gewählt und die Parametrisierung $\psi(\theta, \phi)=\lt\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\cos\theta, \sin\theta \rt$ für $\phi\in\lt 0,2\pi\rt$ und $\theta\in\lt -\frac\pi 2, \frac\pi 2\rt$. Dann ist
 \begin{equation}
-D\psi = 
+D_{(\theta, \phi)}\psi = 
 \begin{pmatrix}
 -\sin\phi\cos\theta & -\cos\phi\sin\theta \\
 \sin\phi\cos\theta  & -\sin\phi\cos\theta \\
@@ -217,7 +217,7 @@ Sei $M\subset\mb R^3$ eine Fläche. Sei $\psi\colon V^\psi\to U^\psi\subset M\su
 \begin{equation}
 \nu_p:=\frac{v_1\times v_2}{\norm{v_1\times v_2}} \perp T_pM
 \end{equation}
-ein NVF zu $M$ an $p$. Die Abbildung $\nu\colon U^\psi\to\mb R^n,~ p\mapsto \nu_p$ ist ein NVF auf $U^\psi$. Für jede andere Parametrisierung $\phi\colon V^\phi\to U^\phi=U^\psi$ gilt $\nu_p^\phi=\pm \nu_p^psi$ für jedes $p\in U^\phi=U^\psi$.
+ein NVF zu $M$ an $p$. Die Abbildung $\nu\colon U^\psi\to\mb R^n,~ p\mapsto \nu_p$ ist ein NVF auf $U^\psi$. Für jede andere Parametrisierung $\phi\colon V^\phi\to U^\phi=U^\psi$ gilt $\nu_p^\phi=\pm \nu_p^\psi$ für jedes $p\in U^\phi=U^\psi$.
 
 \begin{defn}
 Eine orientierte Fläche $\lt M, \nu\rt$ ist eine Fläche $M\subset\mb R^3$ ausgestattet mit einem Einheitsnormalenfeld $\nu\colon M\to\mb R^3$.
@@ -228,7 +228,8 @@ Da $\norm{\nu_\phi}=1$ folgt, dass $\nu\colon M\to S^2$. $\nu$ heißt Gauß-Abbi
 Sei nun $\nu\colon M\to\mb R^3$ ein Einheitsnormalenfeld, $p\in M$ und $v\in T_pM$. Leiten wir die Relation $1=\bra\nu_p, \nu_p\ket$ in Richtung von $v$ an $p$ ab, so erhalten wir
 \begin{eqnarray}
 0 &=& v\lt\bra\nu, \nu\ket \rt \\
-  &=& 2\bra v(\nu), v(\nu) \ket,
+  &=& \langle v(\nu), \nu \rangle +\langle \nu, v(\nu) \rangle \\
+  &=& 2\bra v(\nu), v(\nu) \ket
 \end{eqnarray}
 also $v(\nu)\perp \nu_p$ und damit $v(\nu)\in T_pM$. Insgesamt erhalten wir somit eine Abbildung $S_p\colon T_pM\to T_pM, ~ v\mapsto -v(\nu)$.
 
@@ -246,14 +247,14 @@ h_p\colon T_pM\times T_pM &\to& \mb R^n \\
 heißt zweite Fundamentalform von $M$ an $p$.
 \label{zweite_fundamentalform}
 \end{defn}
-Historisch bedingt wird $g_p$ erste Fundamentalform genannt. Es seien hier zwei Beispiele angeführt. Im ersten sei $M=\mb R^2$, damit $\nu$ konstant und daher $S_p=0=h_p$. Im zweiten Beispiel sei $M=S^2$ und $v(p)=p$. Damit folgt $D\nu=I$ und daher $S_p=-I_{T_pS^2}=h_p$.
+Historisch bedingt wird $g_p$ erste Fundamentalform genannt. Es seien hier zwei Beispiele angeführt. Im ersten sei $M=\mb R^2$, damit $\nu$ konstant und daher $S_p=0=h_p$. Im zweiten Beispiel sei $M=S^2$ und $\nu(p)=p$. Damit folgt $D\nu=I$ und daher $S_p=-I_{T_pS^2}=h_p$.
 
 \begin{prop}
 Sei $(M,\nu)$ eine orientierte Fläche und $\psi\colon V^\psi\to U^\psi\subset M$ eine Karte von $M$, sowie $p\in M, x\in V^\psi$ mit $\psi(x)=p$. Dann gilt für alle $v$, $w\in\mb R^2$:
 \begin{equation}
 \bra D_x\psi(v), S_p\lt D_x\psi(w)\rt \ket = \bra \mr{Hess}_x\psi(v,w), \nu_p \ket,
 \end{equation}
-also $D_x\psi \simeq T_pM$.
+also $D_x\psi \cong T_pM$.
 \end{prop}
 
 \begin{proof}
@@ -359,7 +360,7 @@ Es sei daran erinnert, dass ein TVF auf einer UM $M\subset\mb R^3$ eine glatte A
 X(f)=\sum_{i=1}^{n} \underbrace{X_i(p)\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{\partial_{X(p)}(f)=X_p(t)}.
 \end{equation}
 
-Wenn $\psi\colon V^\psi\to U^\psi\subset M$ eine Kurve ist, $X\colon U^\psi\to\mb R^n$ ein TVF, dann ist $X\circ\psi\colon V^\psi\to\mb R^n$ und $\forall x\in V^\psi$ gilt $X\circ\psi(x)\in T_{\psi(x)}M$. In $T_{\psi(x)}$ gibt es eine Basis $\partial_i^\psi=\frac{\partial}{\partial x_i}:=D_x\psi(e_i)$. Also hat man $X\circ\psi(x)=\sum_{i=1}^{n}X_i^\psi(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$. Die Ableitung erfüllt die Leibnizregel, also folgt $X_p(fg)=g(p)X_p(f) + f(p)X_p(g)$ und $X(fg)=fX(g) + gX(f)$.
+Wenn $\psi\colon V^\psi\to U^\psi\subset M$ eine Kurve ist, $X\colon U^\psi\to\mb R^n$ ein TVF, dann ist $(X\circ\psi)\colon V^\psi\to\mb R^n$ und $\forall x\in V^\psi$ gilt $(X\circ\psi)(x)\in T_{\psi(x)}M$. In $T_{\psi(x)}$ gibt es eine Basis $\frac{\partial}{\partial x_i}:=\partial_i^\psi:=D_x\psi(e_i)$. Also hat man $(X\circ\psi)(x)=\sum_{i=1}^{n}X_i^\psi(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$. Die Ableitung erfüllt die Leibnizregel, also folgt $X_p(fg)=g(p)X_p(f) + f(p)X_p(g)$ und $X(fg)=fX(g) + gX(f)$.
 
 \begin{defn}
 Seien $X$, $Y\colon M\to\mb R^n$ zwei TVF. Dann heißt das TVF $\com{X,Y}:=X_p(Y) - Y_p(X)$ Lie-Klammer oder Kommutator von $X,Y$.
@@ -369,7 +370,7 @@ Seien $X$, $Y\colon M\to\mb R^n$ zwei TVF. Dann heißt das TVF $\com{X,Y}:=X_p(Y
 Nach obigen Überlegungen reicht es den Kommutator für VF auf $\mb R^n$ auszurechnen, denn lokal sieht jedes VF so aus. Seien $X$, $Y\colon \mb R^m\to\mb R^m$ VF, $f\colon \mb R\to\mb R$ eine Funktion. Dann gilt:
 \begin{eqnarray}
 \com{X,Y}_p(f) &=& \lt X_p(Y)\rt(f) - \lt Y_p(X)\rt(f) \\
-               &=& \sum_{i=1}^{m} X_i(p)\frac{\partial Y}{\partial X_i}(f) \\
+               &=& \sum_{i=1}^{m} X_i(p)\frac{\partial Y}{\partial X_i}(f) - \sum_{i=1}^{m} Y_i(p)\frac{\partial X}{\partial Y_i}(f)  \\
                &=& \sum_{i,j=1}^{m} \lt X_i(p)\frac{\partial Y_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} - Y_i(p) \frac{\partial X_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} \rt \\
                &=& \sum_{i,j=1}^{m} \left( X_i(p)\frac{\partial Y_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} + X_i(p)Y_j(p)\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right. \\
                &-& \left. Y_i(p)\frac{\partial X_j}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j} - X_i(p)Y_j(p) \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right) \\
@@ -405,7 +406,7 @@ Damit ergibt sich
 und
 
 \begin{equation}
-X\lt Y\rt = \frac{\partial}{\partial\vartheta} \eqref{ausdruck_1}) = -
+X\lt Y\rt = \frac{\partial}{\partial\vartheta} \overset{ \eqref{ausdruck_1}}= -
 \begin{pmatrix}
 \cos\vartheta\cos\varphi \\
 \cos\vartheta\sin\varphi \\
@@ -416,10 +417,10 @@ X\lt Y\rt = \frac{\partial}{\partial\vartheta} \eqref{ausdruck_1}) = -
 Allerdings ist $\com{X,Y}=X(Y)-Y(X)$ ein TVF, wenn $X,Y$ es sind. Arbeiten wir in lokalen Koordinaten $x_1,\ldots, x_m$ mit den Darstellungen $X=\sum_{i=1}^{m}X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$, $Y=\sum_{i=1}^{m}Y_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$, so folgt:
 
 \begin{eqnarray}
-\com{X,Y} &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}, Y_i(x)\frac{\partial}{\partial x_j}} \\
+\com{X,Y} &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}, Y_j(x)\frac{\partial}{\partial x_j}} \\
           &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i} \lt Y_j(x)\frac{\partial}{\partial x_j} \rt - Y_j(x) \frac{\partial}{\partial x_j}\lt X_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i} \rt } \\
-          &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial Y_j(x)}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i} - Y_j(x)\frac{\partial X_i}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_j} } \\
-          &=& \sum_{j=1}^{m} \underbrace{\lt \sum_{i=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial Y_j(x)}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i} - Y_j(x)\frac{\partial X_i}{\partial x_j}} \rt}_{=:Z_j(x)} \frac{\partial}{\partial x_j} \\
+          &=& \sum_{i,j=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial Y_j(x)}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} - Y_j(x)\frac{\partial X_i(x)}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_i} } +0 \\
+          &=& \sum_{j=1}^{m} \underbrace{\lt \sum_{i=1}^{m} \com{ X_i(x)\frac{\partial Y_j(x)}{\partial x_i} - Y_i(x)\frac{\partial X_j}{\partial x_i}} \rt}_{=:Z_j(x)} \frac{\partial}{\partial x_j} \\
           &=& \sum_{j=1}^{m} Z_j(x)\frac{\partial}{\partial x_j}
 \end{eqnarray}
 
@@ -435,7 +436,7 @@ Wenn $X$ ein TVF ist und $\xi\in T_pM$, ergibt die Notation $\nabla_\xi X:=\pi_{
 Beispielhaft sei $\gamma\colon I\to M$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. $\gamma$ ist genau dann eine Geodäte, wenn $\forall t\in I:~\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t)=0$. Die Ableitungsvorschrift von $\nabla$ heißt auch Levi-Civita-Zshg. auf $M$.
 
 \begin{prop}
-Seien $X,Y,Z$ TVF uf $M$ und $f$, $\tilde{g}\colon  M\to\mb R$ glatt. Dann gilt:
+Seien $X,Y,Z$ TVF auf $M$ und $f$, $\tilde{g}\colon  M\to\mb R$ glatt. Dann gilt:
 \begin{enumerate}[(i)]
 \item $\nabla_{fX+\tilde g Y} Z = f\nabla_X Z + \tilde g \nabla_Y Z$ \\
 \item $\forall \alpha,\beta\in\mb R$ gilt $\nabla_X(\alpha Y + \beta Z) = \alpha\nabla_XY + \beta\nabla_XZ$

diffgeoI/chapters/chapter_3.tex

@@ -9,15 +9,15 @@
 Notation: $u^i\colon \mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x\colon  U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.
 
 \begin{defn}
-Eine Fuktion $f\colon M\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}\colon  x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
+Eine Fuktion $f\colon M\to\mb R$ heißt glatt, wenn $f\circ x^{-1}\colon  x(U)\to\mb R$ für jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
-Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb f \colon M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
+Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit für eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb f \colon M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
 \end{rem}
 
 \begin{defn}
-Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f\colon M\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$  von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}\colon x(U)\to y(V)$ glatt ist.
+Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f\colon M\to N$ eine Abbildung. $f$ heißt glatt, wenn für jede Karte $(U,x)$  von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}\colon x(U)\to y(V)$ glatt ist.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
@@ -25,13 +25,13 @@ Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f\colon A\to N$ ist fortsetz
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Seien $M,N$ MF. $f\colon M\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):= \lb f\colon M\to N ~\vert~ f {\rm DM} \rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$. 
+Seien $M,N$ MF. $f\colon M\to N$ heißt Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):= \lb f\colon M\to N ~\vert~ f \text{  DM} \rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$. 
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
 Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x\colon U\to x(U)$ DM.
 \end{rem}
-Wir wollen nun den Tangentialraum $T_pM$ fuer $p\in M$ definieren. Eine hilfreiche Einbettung $M\hookrightarrow\mb R^n$ haben wir diesmal nicht.
+Wir wollen nun den Tangentialraum $T_pM$ für $p\in M$ definieren. Eine hilfreiche Einbettung $M\hookrightarrow\mb R^n$ haben wir diesmal nicht.
 
 \begin{defn}
 Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f\colon U\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt} \rb$
@@ -41,15 +41,15 @@ Wir beobachten $C^\infty_{0, p} \trianglelefteq C^\infty(U)$ ist Ideal. Aus $f\i
 \end{rem}
 
 \begin{defn}
-$C^\infty_p:= C^\infty(U)/C^\infty_{0, p}$ heisst Algebra der Fuktionenkeime an $p$.
+$C^\infty_p:= C^\infty(U)/C^\infty_{0, p}$ heißt Algebra der Fuktionenkeime an $p$.
 \end{defn}
 
-Ein Funktionenkeim an $p$ ist somit die Aequivalenzklasse glatter Funktionen in einer Umgebung von $p$.
+Ein Funktionenkeim an $p$ ist somit die Äquivalenzklasse glatter Funktionen in einer Umgebung von $p$.
 
 % hier stand eine erinnerung an TV im Rn
 
 \begin{defn}
-Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v\colon C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p) + f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
+Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v\colon C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p) + f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heißt.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}\label{bsp:tangentialvektoren-koord}
@@ -63,14 +63,14 @@ Wenn wir nun beweisen wollen, dass $\dim T_pM=n$, reicht es zu zeigen, dass die
 \begin{prop}
 Sei $M$ eine $n$-dim. MF, $p\in M, ~(U,x)$ eine Karte um $p$. Dann kann jeder Vektor $v\in T_pM$ eindeutig dargestellt werden als $v=\sum_{i=1}^n \alpha_i\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p$ mit $\alpha_i\in\mb R$.
 \end{prop}
-Tatsaechlich gilt $\alpha_i=v\lt x^i\rt$. Insbesondere ist $\lb\partial_i\rb_{i=1}^n$ eine Basis von $T_pM$ und damit ist dessen Dimension $n$.
+Tatsächlich gilt $\alpha_i=v\lt x^i\rt$. Insbesondere ist $\lb\partial_i\rb_{i=1}^n$ eine Basis von $T_pM$ und damit ist dessen Dimension $n$.
 
 \begin{lem}
-Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dann existieren $f_1,\ldots, f_n\in C^\infty(V)$ mit $f(0)=\partial_if(0)$, s.d. $f(u)=f(0) + \sum_{i=1}^n u^if_i(u), ~u\in V$.
+Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternförmig bzgl. $0$ ist und sei $f\in C^\infty(V)$. Dann existieren $f_1,\ldots, f_n\in C^\infty(V)$ mit $f_i(0)=\partial_if(0)=\frac{\partial}{\partial u^i}f(0)$, s.d. $f(x)=f(0) + \sum_{i=1}^n u^if_i(x)$, $x\in V$.
 \end{lem}
 
 \begin{proof}
-Sei $p\in V$, $C\colon [0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C\colon  [0,1]\to\mb R$ glatt.
+Sei $p\in V$, $C\colon [0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von $0$ nach $p$. $\varphi:= f\circ C\colon  [0,1]\to\mb R$ glatt.
 \begin{eqnarray}
 \varphi(1)-\varphi(0) &=& \int_0^1 \varphi'(t) {\rm d}t \\
                       &=& \sum_{i=1}^{n} \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial u^i}(tp)p_i {\rm d}t \\
@@ -82,14 +82,14 @@ Es folgt der Beweis voriger Proposition.
 \begin{proof} ~\hfill
 \begin{enumerate}
 \item Wenn $v\in T_pM, f$ konstant in einer Umgeung von $p\Rightarrow v(f)=0$. $v(f)=v(C)=Cv(1)=C\lt 1v(1) + 1v(1)\rt= 2Cv(1)\Rightarrow v(1)=0$. 
-\item Nach evtl. Verschiebung und Verkleinerung koennen wir annehmen, dass $0\in x(U), x(U)$ sternfoermig bzgl. 0. Fuer $f\in C^\infty(U)$ bel. gilt dann nach Lemma $f\circ x^{-1}=f(p)+\sum_{i=1}^{n}u^if_i$ mit $f_i(0)=\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f)$ Damit folgt
+\item Nach evtl. Verschiebung und Verkleinerung können wir annehmen, dass $0\in x(U), x(U)$ sternförmig bzgl. $0$. Für $f\in C^\infty(U)$ bel. gilt dann nach Lemma $f\circ x^{-1}=f(p)+\sum_{i=1}^{n}u^if_i$ mit $f_i(0)=\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f)$ Damit folgt
 \begin{eqnarray}
 \left. f \right\vert_U &=&f(p) + \sum_{i=1}^n x^i\lt f_i\circ x\rt \\
 vf &=& 0 + \sum_{i=1}^n\lt v\lt x^i\rt\lt f_i\circ x\rt(p) + 0v\lt f_i\circ x\rt \rt \\
    &=& \sum_{i=1}^n v\lt x^i\rt \lt f\circ x\rt(p) \\
    &=& \sum_{i=1}^n v\lt x^i \rt\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f)
 \end{eqnarray}
-Es fehlt noch die lineare Unabhaengigkeit. Seien $\lambda_i\in\mb R, i\in\lb 1,\ldots, n\rb$ mit $\sum_{i=1}^{n}\left.\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p=0$. Dann $\sum_{i=1}^{n}\left.\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p\lt x^j\rt=\lambda_j$
+Es fehlt noch die lineare Unabhängigkeit. Seien $\lambda_i\in\mb R, i\in\lb 1,\ldots, n\rb$ mit $\sum_{i=1}^{n}\left.\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p=0$. Dann $\sum_{i=1}^{n}\left.\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p\lt x^j\rt=\lambda_j$
 \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -102,8 +102,8 @@ Nach Prop. gilt:
 
 \begin{eqnarray}
 \left.\frac{\partial}{\partial y^j}\right\vert_p &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial}{\partial y^j}\right\vert_p \lt x^i \rt \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\vert_p \\
- &=& \sum_{i=1}^n \partial_j\lt u^i\circ x\circ y^{-1} \frac{\partial}{\partial x_i} \rt \\
- &=& \sum_{i=1}^n \lt u^i\circ x\circ y^{-1}\rt\lt y(p)\rt \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p
+ &=& \sum_{i=1}^n \partial_j\lt u^i\circ x\circ y^{-1}\rt \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p \\
+ &=& \sum_{i=1}^n \partial_j \lt u^i\circ x\circ y^{-1}\rt\lt y(p)\rt \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p
 \end{eqnarray}
 Damit ist die Basiswechselmatrix von $\lb\frac{\partial}{\partial x^i}\rb_{i=1}^n$ zu $\lb\frac{\partial}{\partial x^i}\rb_{i=1}^n$ gegeben durch Jacobi von $x\circ y^{-1}$ an $y(p)$.
 Das liefert folgende Alternativdefinition des Tangentialraumes $T_pM := \lb [(U,x), \xi] ~\vert~ \xi\in\mb R^n, (U,x)~{\rm Karte~um~}p, \lt (U,x),\xi\rt\sim\lt (V,y), \eta\rt:\iff D_{y(p)}\lt x\circ y\rt^{-1}\xi=\eta \rb$
@@ -139,7 +139,7 @@ Sei $M$ eine MF und $f\colon M\to\mb R$, $p\in M$. Das Differential von $f$ an $
 Man sieht, dass ${\rm d}f(p)$ linear ist, also Element vom Kotangentialraum $\lt T_pM\rt^\ast=: T^\ast_pM$.
 
 \begin{bsp}
-$M=\mb R^n, T_pM={\rm span}\lb \left. \frac{\partial}{\partial u^i}\right\vert_p \rb_{i=1}^n$. Dann ${\rm d}f(p)\lt \left. \frac{\partial}{\partial u^i}\right\vert_p \rt= \frac{\partial f}{\partial u^i}(p)$. Das Differential hat bzgl. $\frac{\partial}{\partial u^i}$ die Koordinatenzeile $\lt \frac{\partial f}{\partial u^1}, \frac{\partial f}{\partial u^2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial u^n} \rt$
+$M=\mb R^n, T_pM={\rm span}\lb \left. \frac{\partial}{\partial u^i}\right\vert_p \rb_{i=1}^n$. Dann ${\rm d}f(p)\lt \left. \frac{\partial}{\partial u^i}\right\vert_p \rt= \frac{\partial f}{\partial u^i}(p)$. Das Differential hat bzgl. $\frac{\partial}{\partial u^i}$ die Koordinatenzeile $\lt \frac{\partial f}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial u^n} \rt$
 \end{bsp}
 
 \begin{defn}
@@ -189,7 +189,7 @@ Die folgende Version des Satzes über implizite Funktion aus der Analysis zeigt,
 Sei $U\subset \mb R^n$ eine Umgebung von $0\in \mb R^n$, $f\colon U\to \mb R^k$ glatt mit $f(0) = 0$. Dann gilt:
 \begin{enumerate}
     \item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $g$  von $\mb R^k$ an $0$ mit $g\circ f = \iota$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
-    \item Wenn $n\leqslant k$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h = \pi$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
+    \item Wenn $k\leqslant n$ und $f$ maximalen Rang ($=n$) an $0$ hat, dann gibt es eine Karte $h$ von $\mb R^n$ an $0$ mit $f\circ h = \pi$ auf einer Umgebung von $0\in \mb R^n$;
 \end{enumerate}
 \end{theo}
 \begin{proof}
@@ -257,7 +257,7 @@ Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $TM$ sein Tangentialbündel und $\pi\colon TM\to
 
 
 
-Wie früher führen wir einige Notation zum Thema Vektorfelder.
+Wie früher führen wir einige Notation zum Thema Vektorfelder ein.
 \begin{enumerate}
     \item Die Vektorfelder bilden ein Vektorraum bezüglich punktweiser Operationen, weil der Wert eines Vektorfeldes an jedem Punkt $p$ in dem Vektorraum $T_p M$ liegt. Der Vektorraum der Vektorfelder auf $M$ wird durch $\Gamma(TM)$, $\mathrm{Vect}(M)$ oder $\mathfrak{X}(M)$ bezeichnet.
     \item Man kann Vektorfelder mit glatten Funktionen multiplizieren: wenn $X\colon M\to TM$ ein Vektorfeld ist und $f\in C^\infty(M)$, dann ist $f X\colon p\mapsto f(p)X(p)$ auch ein Vektorfeld.