\\ C^\infty(N)&\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
\\\varphi&\mapsto&\varphi\circ f
$$
Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M)\to\mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v)= f_*v}\colon C^\infty(M)\to\mathbb R$ linear
%TODO vertical line
** Beispiel
$$1
G = U(n)=\{ A \in\mathbb M_n (\mathbb C)\ |\ A^*A =1\}\subseteq\operatorname{GL}(n, \mathbb C)