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Commit f2478ad4 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs
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2019-04-03

parent e0636044
# cp edit-this-file.tex tmp.tex
inotifywait -e close_write,moved_to,create -m . |
while read -r directory events filename; do
if [ "$filename" = "edit-this-file.tex" ]; then
cp edit-this-file.tex tmp.tex
python3 preprocessor.py
pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o gdim.tex --metadata-file meta.yaml
pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o gdim.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template"
clear && clear
echo "start pdflatex"
pdflatex -interaction=nonstopmode gdim.tex
#pdflatex gdim.tex
......
......@@ -105,3 +105,205 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
$$1
%DATE 2019-04-02
* 1. Übung
Differential einer Abbildung
$$1
f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n
$$1
$$
p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear})
\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)}
$$
$$
\partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i
\\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
\begin{matrix}
i = \overline{1, m} \\
j = \overline{1, n}
\end{matrix}}
$$
$$
f\colon M\to N
$$
$$
p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear}
\\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&
\\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)})
$$
$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$
\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}
%TODO vertical line
TODO Bildchen %TODO
$$
M &\overset f\to& N
\\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}&
\\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
\\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f
$$
Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear
%TODO vertical line
** Beispiel
$$1
G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C)
$$1
$$
&\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot]
\\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\
&T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C)
\\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
\{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\}
$$
Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$
$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$
$$
\dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\
&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
\dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0
$$
Also:
$$
T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \}
$$
Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte:
$$
\gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right)
\\ \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX}
\\ \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n)
\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X
$$
wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit
%Hinweis nur mündlich:
$$
D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A))
$$
$$
G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R)
\operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R)
$$
Wir haben gesehen:
$$
\exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\
&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\
&X& \mapsto \exp(X)
$$
$$
\gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX)
$$
$$
\dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t))
$$
wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist
$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$
Ausführlicher:
$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$
$$
X\in T_1G \rightsquigarrow
\underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} }
= \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R)
$$
Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann:
$$
\dot A(t) = A(t)\cdot X
$$
$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$
%TODO vertical line
$$
x &\mapsto& A\cdot x
\\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear}
\\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m
\\
\\ f\colon V &\to& W \text{ linear}
$$
mit Übung 28 %TODO ref
$p\in V$:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
V \arrow[r, "f"] & W
\end{tikzcd}
\end{center}
%TODO vertical line
%TODO das war das mündliche Zeug
$$
\det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}
$$
$$
\det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R
$$
$$
D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R
\\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A)
$$
$$
\det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2)
$$
Determinante ist Konjugationsinvariant
$$1
\det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1})
$$1
Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit:
$$
\det (1+tA)
&=&
\left|\begin{matrix}
1+t\lambda_1& & \\
& \ddots & \\
&& 1+t\lambda_n
\end{matrix}\right|
\\&=&
(1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n)
\\&=&
1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2)
\\&=&
1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)
$$
......@@ -70,3 +70,12 @@ Beweis:
* Siehe vorheriger Beweis
* dann erhalte nichts
\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\leadsto$}}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
V \arrow[r, "f"] & W
\end{tikzcd}
\end{center}
......@@ -379,6 +379,12 @@ $if(logo)$
$endif$
$endif$
%custom
$if(tikz)$
\usepackage{tikz, tikz-cd}
$endif$
\begin{document}
$if(title)$
$if(beamer)$
......
---
title: 'DGEO Sommersemester 2019 alpha version, ohne jegliche Gewähr'
title: 'DGEO Sommersemester 2019 alpha version, ohne Gewähr'
author:
- 'Dozent: '
- 'Satz: '
......@@ -7,4 +7,6 @@ author:
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...
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