2019-04-03

compile.sh

-# cp edit-this-file.tex tmp.tex
 
 inotifywait -e close_write,moved_to,create -m . |
 while read -r directory events filename; do
   if [ "$filename" = "edit-this-file.tex" ]; then
     cp edit-this-file.tex tmp.tex
     python3 preprocessor.py
-    pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o gdim.tex --metadata-file meta.yaml
+    pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o gdim.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template"
+
+    clear && clear
+    echo "start pdflatex"
     pdflatex -interaction=nonstopmode gdim.tex
     #pdflatex gdim.tex
 

edit-this-file.tex

@@ -105,3 +105,205 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
   $$1
 
 %DATE 2019-04-02
+
+* 1. Übung
+
+Differential einer Abbildung
+
+$$1
+  f\colon \mathbb R^n  \to \mathbb R^n
+$$1
+
+$$
+p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear})
+\\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)}
+$$
+
+$$
+  \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i
+  \\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
+    \begin{matrix}
+      i = \overline{1, m} \\
+      j = \overline{1, n}
+    \end{matrix}}
+$$
+
+$$
+  f\colon M\to N
+$$
+$$
+  p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear}
+  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&
+  \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)})
+$$
+
+$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$
+
+\begin{tikzcd}
+M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
+\end{tikzcd}
+
+%TODO vertical line
+
+TODO Bildchen %TODO
+
+$$
+  M &\overset f\to& N
+  \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}&
+  \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
+  \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f
+$$
+
+Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear
+
+%TODO vertical line
+
+** Beispiel
+
+$$1
+  G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C)
+$$1
+
+$$
+  &\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot]
+  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}&\\
+  &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C)
+  \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
+  \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\}
+$$
+
+Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$
+
+$G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$
+
+$$
+  \dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\
+  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}&\\
+  \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0
+$$
+
+Also:
+
+$$
+  T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \}
+$$
+
+Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte:
+$$
+  \gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right)
+\\  \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX}
+\\  \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n)
+\\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X
+$$
+wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit
+
+%Hinweis nur mündlich:
+$$
+  D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A))
+$$
+
+$$
+  G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R)
+  \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R)
+$$
+
+Wir haben gesehen:
+$$
+  \exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\
+  &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}&\\
+  &X& \mapsto \exp(X)
+$$
+
+$$
+  \gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX)
+$$
+
+$$
+  \dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t))
+$$
+
+wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist
+
+$\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$
+
+Ausführlicher:
+
+$G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$
+
+$$
+  X\in T_1G \rightsquigarrow
+  \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} }
+  = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R)
+$$
+
+Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann:
+$$
+  \dot A(t) = A(t)\cdot X
+$$
+
+$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$
+
+%TODO vertical line
+
+$$
+  x &\mapsto& A\cdot x
+  \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear}
+  \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m
+  \\
+  \\ f\colon V &\to& W \text{ linear}
+$$
+
+mit Übung 28 %TODO ref
+$p\in V$:
+
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
+  V \arrow[r, "f"]                                      & W
+  \end{tikzcd}
+\end{center}
+
+%TODO vertical line
+%TODO das war das mündliche Zeug
+
+$$
+  \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}
+$$
+
+$$
+  \det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R
+$$
+
+$$
+  D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R
+  \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A)
+$$
+
+$$
+  \det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2)
+$$
+
+Determinante ist Konjugationsinvariant
+
+$$1
+  \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1})
+$$1
+
+Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit:
+
+$$
+  \det (1+tA)
+  &=&
+    \left|\begin{matrix}
+      1+t\lambda_1& & \\
+      & \ddots & \\
+      && 1+t\lambda_n
+    \end{matrix}\right|
+  \\&=&
+    (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n)
+  \\&=&
+    1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2)
+  \\&=&
+    1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)
+$$

feature-examples.tex

@@ -70,3 +70,12 @@ Beweis:
 
  * Siehe vorheriger Beweis
  * dann erhalte nichts
+
+\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\leadsto$}}
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
+  V \arrow[r, "f"]                                      & W
+  \end{tikzcd}
+\end{center}

latex.template

@@ -379,6 +379,12 @@ $if(logo)$
 $endif$
 $endif$
 
+%custom
+$if(tikz)$
+\usepackage{tikz, tikz-cd}
+$endif$
+
+
 \begin{document}
 $if(title)$
 $if(beamer)$

meta.yaml

 ---
-title:  'DGEO Sommersemester 2019 alpha version, ohne jegliche Gewähr'
+title:  'DGEO Sommersemester 2019 alpha version, ohne Gewähr'
 author:
 - 'Dozent: '
 - 'Satz: '
@@ -7,4 +7,6 @@ author:
 lang: de
 papersize: a4
 toc: yes
+graphics: yes
+tikz: yes
 ...